作者 | 丘成桐 发表时间 | 2023-09-21 来源 | 澎湃·翻书党
丘成桐
数学史的内容，除了它肩负的历史意义外，也应当说明数学的有机发展，不只注意于数学本身，也要顾及数学的外延，要追寻数学发生在怎样环境之下，如何扩散出去。
先父谈哲学史的说法可用在数学史上，因此数学史的目的可归纳为三个：
一是求因。美国哲学家Walter Mavin在1917年出版的著作《欧洲哲学史》（The History of European Philosophy, Macmillan, 1917）中写道：“任何时代的哲学都是文明进程的产物，或是时代变迁的缩影。”数学思想的产生不是凭空而来，因此需要穷源溯流，阐明产生此种思想的原因。
二是明变。数学思想变化至繁，但有一定轨迹，所以需要找寻其发展的轨迹。
三是评论。我们要将各种数学思想加以客观的评价，对它们对当时及后代的影响、产生何种价值，作评价可以帮助学者发展自己的想法。
学以致用与中国数学
举个例子，我们约略谈谈中国数学史。从前人们总会谈到伏羲、隶首、河图、洛书这些传说。然而，真正重要的中国古代算学书籍是《九章算术》《周髀算经》和《孙子算经》，尤以《九章》为最重要。大略而言，此书非一时一人之作，成书当在汉初，刘徽在公元263年为之作注，已经谈到秦末汉初时张苍为之删补。而东汉郑玄、马续则传述此书。刘徽的注疏可能比原书更为重要，此书涉及二次方程、联立线性方程、勾股定理、圆与球之面积和体积，刘徽是第一个证明勾股定理的中国数学家。
《九章算术》
《孙子算经》大约为东汉人所作，这是记载“物不知数”的算经，率先给出中国剩余定理，这可说是中国算学史上最伟大的创作。这个定理从命题到应用，都由中国学者首先提出，其重要性影响至今。
刘徽以3为圆周率，至祖冲之（南朝人，公元429至500年）则算圆周率值在3.1415926与3.1415927之间，这确是一个重要的工作，其方法与阿基米德相同。以后唐朝有王孝通著《缉古算经》，谈到二次和三次方程，然而未提解法。
南宋和元朝期间（12至14世纪）则有李治、秦九韶、杨辉、朱世杰等杰出数学家。杨辉发现帕斯卡三角形定理，秦九韶发现霍纳算法，都比帕斯卡和霍纳早四五百年。总括来说，这一段时间数学以代数为主，尚有天元和四元术的发展。与阿拉伯和印度数学家应当有一定的来往，但需要更多的考证。
明清的数学与西方相差太远，无可观者。明末利玛窦和徐光启才开始翻译欧几里得《几何原本》前6卷。而中国学者虽然仰慕《几何原本》的推理方法，却无力吸取其精髓。到19世纪初叶，李善兰才将《几何原本》全部译出。
利玛窦（左）和徐光启
清朝数学家却花了不少时间，去整理中国数学古籍。一方面可以看到清代文字狱的影响，一方面也可以隐约看出学者心存“夷夏之分”，抗拒西方的思想。
当西方文艺复兴、百家争鸣的时候，明清政府却大力钳制思想。明成祖为了证明自己的正统，诛杀方孝孺，“天下读书种子，从此灭矣”。数学和有学问的数学家一直到近代，才得到比较多的尊重。
中国强调中体西用，以“拿来主义”吸纳了大量科学技术，但客观而理性的判断方法，即科学精神远未普及。“‘家有敝帚，享之千金。’斯不自见之患也。”这是今日中国数学尚不及西方的一个原因。
纵观中国数学发展，基本上尊崇儒家“学以致用”的想法，对应用科学背后的基本规律研究兴趣并不大。在庄子、墨子和名家的著作中，可以看到比较抽象和无穷逼近法的观念。
《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”但是这种观念在实际运算上没有表现出来，直到刘徽和祖冲之，才用这种方法来计算圆周率。《九章算术》的写作是用例子来解释数学，读者没有办法知道这些例子有多广泛，更不知道证明的来龙去脉。模棱两可的态度是其中的弊病。
在某种意义上，中国古代数学的主要活动，始终停留在实验科学的层次上，中国数学家对证明定理的兴趣不大。我们的文化强调人治的观点，以家庭、宗族为出发点，甚于考虑复杂的数学现象，可以用几条简单显而易见的公理来推导，这与希腊数学家的态度有显著的不同。
数学描述自然真理
毕达哥拉斯学派（公元前五百多年）以为天地万物都可以用数字来表示。他们率先指出假设和证明的重要性。在公元前300年，欧几里得的公理就清楚地指出，一切平面几何定理都可以由少数公理推出。这可能是欧几里得搜集了几百年来几何发展得出的结论。
欧几里得
欧氏公理影响了整个科学的发展。在物理科学上，引导了牛顿三大定律和现代的统一场论。在数学上，它使我们知道所发现的定理并非互不关联的事实，它们都可以由几条简易公理来推导。希腊学者在两千多年前已经为科学文明奠定了牢固的基础。
数学家历来对欧氏公理有很浓厚的兴趣，其主要的原因是欧氏公理找到了平面几何的精髓。以简御繁，才能搞清楚我们创造出来的数学概念的真正意义。中国画家画山水画，也是想用简单的笔法将画家心中的感觉表现出来。在很少几个公理的前提下推导出来的结果，才能表达这些公理的内蕴意义。这个看法有如文学家作诗写文，干净利落，从简洁处看到作品的意境。近代数学的发展也往往在极为复杂的数学问题中，找到它精华的一部分来独立发展，完成一个可以概括很多现象的结构。中国数学家不大熟悉这样子的手段，堂庑不够宏大。
在数学每一个重要的环节都搞清楚后，就需要考虑它们交叉的意义和内容。就如一个交响乐团由不同的乐器和音乐家组合而成，由一个掌控全盘的音乐家来指挥。文学创作里的《红楼梦》也是如此：由很多不同的环节组合而成，这些环节有诗、有词、有祭文，各有重要的特色，而又环环相扣。在数学上，也是如此。数学家证明了不同而又重要的定理。这些定理可能都有它们的重要性，但真正成为一个数学主流的学问，必须将这些定理整合起来，成为一个有完整哲学思维做背景的理论，影响才会深入，这种学问才会有价值，能够流传后世！在数学发展史上，能够做到这样的学问的，除了牛顿发现微积分外，以后欧拉、高斯、黎曼、希尔伯特、庞加莱、外尔、韦伊等人，都能够做到这一点。我们要欣赏他们的工作，最好从他们的历史背景，来找寻他们做研究的踪迹。
还有一个有趣的事实，中国数学家几乎从来不用反证法来证明定理。大概原因：反证法虽然可以指出定理的真实性，却无法得出实际的应用。在欧几里得证明存在无穷多个素数时，西方数学家已经知道反证法的威力。古代中国学者对逻辑的运用远不如西方，对纯粹科学真理的兴趣也不如西方。
希腊数学家对数字、对几何图形有无比的热情。毕达哥拉斯以为整数和有理数可以决定天地的一切，因此研究弦的长度和音调的关系。当他知道直角三角形两边长等于整数一，斜边却是无理数时，大为失望，传说他学派中有人自杀！这是因为毕氏学派是一个哲学团体，他们有一套描述宇宙的想法，但又不得不接受严格推理的结果。但是数学家接受了无理数的存在，并在它的基础上，发展了数学分析这门学问。古代的中国数学家不在乎无理数这种概念，要到20世纪才发展数学分析。现代电子计算机的发展，却大量地运用数字的威力，正好印证毕氏学派万物皆数的想法。
阿基米德研究流体静力学，他在洗澡发现浮力原理时，高兴地跑到街上大叫“Eureka, Eureka（我找到了，我找到了）”。当时他忘记了穿衣服。这种为科学而无比兴奋的心情，恐怕在今日中国的科学界很难找得到了。我记得小时候听我的中学老师黄逸樵讲说阿基米德这个故事时，自觉“大丈夫，当如是”。
我们看伟大的数学家牛顿、莱布尼茨、欧拉、高斯，他们对数学的高瞻远瞩，令人钦佩。他们有强烈的好奇心，为找寻科学真理而努力。他们不在乎他们的研究对政府或对社会有何帮助，也不见得很在乎经费和奖金。但是他们开创的数学，不但流芳百世，也是近代西方文明的支柱。
我从前阅览欧拉的著作，他个人写了60多本书，大部分都是开创性的工作。他有13个小孩，一边抱小孩一边著作，到晚年时更瞎了眼睛。他的创作，无论在纯数学或应用数学方面的贡献，实在是极尽丰满。
完美复数与现代数学
明朝初年，欧洲文艺复兴之时，在科学界一个极为重要的问题，就是求解三次和四次方程式。这看来是小事，却是数学家第一次理解到复数的重要性。我们来看二次方程：x²+1=0。很明显，只要x是实数，方程左边一定大于零，所以方程无解。对中国古代数学家来说，似乎没有理由去继续讨论这种没有解的方程。但是欧洲数学家追求数的完美性质，就假定上面这个二次方程有一个非实数的解，称之为虚数，同时要求这个虚数和普通实数混合在一起，同样做加减乘除，得到所谓复数域。他们因此得到一个奇妙和惊人的发现：虽然有的多项式没有实数解，但是所有多项式都有复数解，同时解的个数刚好是多项式的次数。
从方程的角度来说，这个复数域是完美的，也是古希腊哲学家所乐见的。很多中国古代数学家大概认为我只想知道现实界的解，不想研究这种虚无的复数域。但是欧洲数学家发现在研究自然界的数学现象时，复数域不但会增强我们理解实数的能力，它已经成为数学的本体。欧拉用复数来解释三角函数，傅里叶用它来解释波动现象。在数论中，高斯、黎曼和之后的学者，广泛应用复函数和复数域深入研究素数的性质。事实上，用一句简单但不算夸张的话，中国古代数学，甚至可以说中国古代科学，落后于西方的一个因素始于复数理论在西方的萌芽。
要求数学体系或者其他科学体系完备化的想法，根植于希腊哲学，影响到今日数学的发展。韦伊和格罗滕迪克建立了一套完备的代数几何结构，初看时，极度玄虚，结果却极大地推动了数论和几何的研究。这是一个追求完美而有大成就的极好例子。我的老师陈省身先生刚开始研究示性类时，想解释苏联数学家庞特里亚金在实纤维丛的工作。结果发现在复纤维丛时，理论更加完美，完成了陈氏类的工作。从这点就可以看出追求完美的哲学观点的重要性。
中国学者少有注意数学发展的历史和支持数学的基本哲学，大部分萧规曹随，解决一些问题而已。但是理论如何叫作完美？它有它的客观性，也有它的主观性。很多学者发展了一套长篇的理论，看似漂亮，却是越来越玄虚，结果无以为继。这是和自然界的真与美愈来愈脱节的缘故。当年我和我的朋友们发展几何分析，就坚持我们必须要有理论，要有长远的看法。但是在这个基础上，我们的理论必须要有能力来解决具体的问题。一般来说，这些问题必须是自然界产生的问题。
学问大流，真诚为源
今日中国科教兴国、科技创新，必以数学为基础。数学在现代社会的影响，可谓无远弗届，上至天文、物理、生物，下至网络、社会人文，都和数学有关。可以预见的是，21世纪大国的竞争，必和科技发展息息相关。谁能掌握科技上流，谁就主导经济和军事的走势。但是科技的上流，却不是解决几个问题就可以完成。我们要有前瞻性的胸襟和理想，才能引领风骚，领导世界。
要做到这一点，我们需要深思我在前面说的求因、明变和评论，才能了解到学问的大流，才能知道如何去赏析数学的真实意义。数学从自然界、从各种学问吸收真和美的真髓。没有深厚的文化和感情，很难做到这一点。既要执着于中国儒家以人为本的精神来看数学，即数学家需要承担起发展数学的责任，也需要接受希腊哲人对真和美追求的狂热精神。当读历代大数学家的生平和研究方法时，我们会知道数学思想的始源。因此在接触到美丽的自然现象时，会有自然的反应，可以开创新的思维。中国不少学者太注重名和利，一生的目标不是做院士，就是得到政府赏赐的奖金和名誉，而并非学问的精进。
孔子说：“吾未见好德如好色者也。”在今日的社会，除了好色之外，还当加上好名和好利。然而孔子也说：“后生可畏，焉知来者之不如今也？”我相信中国的青年是有为的，我们应该为他们树立一个好的榜样，历史上的伟人都可以作为他们的典范。
《中庸》说：“唯天下至诚，为能尽其性；能尽其性，则能尽人之性；能尽人之性，则能尽物之性；能尽物之性，则可以赞天地之化育；可以赞天地之化育，则可以与天地参矣。”真诚是学问之道的不二法门。愿我们能以谦虚真诚的态度，来追随数学先贤们开创的道路。
《真与美：丘成桐的数学观》，丘成桐/著，江苏凤凰文艺出版社·胡杨文化，2023年8月版。
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